Монеты России и СССР

Условия задачи: ответ целые числа.
Первая строка – т.к. в правой стороне уравнения 2 в степени Х то рост здесь происходит в геометрической прогрессии, в отличие от левой стороны, где рост математический, путем сложения.
То есть это уравнение решается только такими числами как Х, У =1 или 2
Причем Х и У должны быть равны друг другу, иначе операция их сложения не приведет к равенству.
Если значения Х, У больше 1 или 2 то левая часть уравнения «не успевает» за правой.

Берем теперь вторую строку – Х должен быть больше чем У т.к. их разница должна превышать минимум 3, то есть Х должен быть более или хотя бы равен 3
В первую же строку Х=3 не подходит ни при каких раскладах


таким образом решения у задачи не существует
Наверное это не математическое объяснение, но …

Выражая из первого уравнения x, получаем х=2^х-y
Из второго x=3^у+y
Т.к. левые части равны, то и правые тоже, т.е. 2^х-y=3^у+y
Отсюда 2^х=3^у+2y
2^х - при целых значениях x всегда четно (двойку сколько раз не возводи в степень нечетного результата не получишь)
3^у - при целых значениях y всегда нечетно (тоже самое, сколько тройку не умножай на себя, результат все равно нечетный)
2y - четное число
3^у+2y - четное плюс нечетное всегда нечетное
Так мы получили слева четное число, а справа нечетное, соответственно равенство не верно. Значит и система решения не имеет.
Исключение когда х=0, 2^х=1, и при у=0, 3^у+2y=1, но х=0 и у=0 не удовлетворяют системе.

х+у=2^х
х-у=3^у
Преобразуем данную запись в:
х+у=2^х следовательно: х+у=2^х получаем: 2^х=3^у+2у
((х+у)-2у)=3^у х+у=3^у+2у

Если известно, что требуется получить целые числа, то и х≥ и у≥0, так как если хотябы одно из значений х или у<0, то получим не целые числа. Левая часть уравнения(2^х), всегда четная, а правая(3^у+2у) будет всегда нечетная. Следовательно,решений нет.

абалдеть, пока писал, ты меня опередил. Прикольно. А самое главное, что у нас выводы одинаковые

х+у=2^х (икс плюс игрек равно два в степени икс)
х-у=3^у (икс минус игрек равно три в степени игрек)
х, у Э Z (икс и игрек являются целыми числами)

Складываем : 2х=2^x+3^y => 2х-2^x=3^y
х и у - целые числа, значит 3^y>0 => но при этом левая часть равенства не выполнняется, тк если х=1,2 то будет 0, х=0 - меньше 0.х>=3 слева будет отрицательно е число.

х=0 : -1=3^y - тоже не может быть по условию
получаем что решений нет.

y=2^x-x
y=-3^y+x

=>
3^y=2x-2^x

правая часть уравнения всегда четная, левая всегда нечетная => получаем что решений уравнения нет

Именно, условием игры является алгебраическое доказательство.
И, кстати, первая Ваша попытка была ближе...

Так нельзя выражать. Могут появиться параллельные решения. Выражая, надо, чтобы выражаемая неизвестная находилась по одну сторону равенства. А у Вас икс и слева, и справа.


Не факт. Докажите.


То же самое.


То же самое.


Немного не понял. Вы здесь доказываете, что х><0 (неравен) только при при у><0, или х><0 ни в каких случаях? Поясните, пожалуйста.

ИНФОРМАЦИЯ ДЛЯ ВСЕХ

Когда я прошу "докажите это" - это значит, что в Вашем решении есть допущение, которое неочевидно с точки зрения математики, т.е. не является аксиомой, следовательно, это допущение требуется доказать или опровергнуть в ходе решения. Если допущение не доказано, то решение неверно.

Пример. Я хочу доказать, что при умножении числа 7 на любое нечетное число результат всегда будет нечетным числом. ОПРЕДЕЛЕНИЕ нечетного числа гласит, что это число, которое не делится на 2 нацело, то есть его можно представить в виде
2х+1, где х - целое число.
Тогда 7 умножить на нечетное = 7(2х+1) = 14х+7
14х - число четное, так как 14х=2(7х)=2у, где х и у - целые числа.
7 - число нечетное, так как 7=2z+1, где z - целое число (в данном случае это число 3).
Тогда 14х+7 = 2у+2z+1 = 2(у+z)+1 = 2k+1, где k - целое число
2k+1 - соответствует определению нечетных чисел.
Итак, 7(2х+1) = 2k+1, где х и k - целые числа. Следовательно, при умножении числа 7 на любое нечетное число результат всегда будет нечетным числом.

Не доказано.


Не доказано.

Попытаюсь еще раз, опираясь на ваши рекомендации.

Выражаем X из второго уравнения и подставляем в первое.
Получим:
3^y - 2y = 2^x

Перенесем 2y в правую часть
3^y = 2^x + 2y

Докажем, что для любых целых х и у слева будет число нечетное, а справа - четное.

В правой части вынесем 2 за скобки.
3^y = 2 (2^(x-1) + y)

Представим 3 как 2z+1, где z - целое число (в данном случае это число 1).
2z+1 - соответствует определению нечетных чисел.

Пусть k = (2^(x-1) + y)
Тогда выражение в правой части будет равно 2k, что соответствует определению четных чисел.

Следовательно, решений нет.

вот примерно так:

при x=1, 2 в степени 1 = 2
при х>1 2 в степени z+1 = 2 в степени z, умноженное на 2, что всегда четное (z >= 1 ).

по поводу 3 в степени y не успеваю написать...

уже пошло буквоедство какое-то, ответ правильный судя по всему дан давно, автор тянет кота за хвост ИМХО

2х-2^x=3^y
рассмотрим правую часть уравнения :
при любом игрек она больше нуля ( можно доказать по индукции : у=1 : 3^1=3>0 ; y=2 : 3^2=9>0; пусть для у=к это верно; y^k>0, тогда шаг индукции получаем y=k+1 : 3^(k+1)=3*3^k>0)
левая часть :
если х<0, то -2|x|-2^(-|x|)<0 - не подходит для решения
если х=0, то 0-1=-1 также не подходит
если х>0 то нужно решить для каких х будет выполняться 2х-2^x>0 обозначу как (*).
вроде бы это понятно : 2х растет как 2 ( берем производную) а 2^x растет как 2^x*ln2 (ln2=0.6). видно что производная одной функции растет быстрее чем другой , значит (*) будет меньше нуля при х>2.
подставляя целые 1 и 2 вместо х получаем несовместную систему - те для любого у не существует х для решения.

...И дальше что? Если Вы представили 3=2z+1, то 3^у=(2z+1)^у. Вы же не доказали, что (2z+1)^у - нечетно.



Если хотите, чтобы 2k соответствовало определению четных чисел, k должно быть целое. Если вы заменяете (2^(x-1) + y) на k, где k - целое, то потрудитесь доказать, что (2^(x-1) + y) - целое.

Вы пишете: (2^х + 3^у) - целое четное число. Это неверно.
Вы пишете: (2^х - 3^у) - целое четное число. Это тоже неверно.

Читайте внимательно условия. Кроме ответа, требуется решение.
Не нравится - не участвуйте. Купите себе такую монету в УБ и будьте счастливы.

ИНФОРМАЦИЯ ДЛЯ ВСЕХ

Пожалуйста, решение должно полностью содержаться в одном посте, а не быть разбросано по множеству постов. Когда делаете очередную попытку, пишите ход решения сначала, пожалуйста.

Бросьте, это несерьезно.


Если Вы доказываете, что (3^у)>0 через (3*3^k)>0, то докажите, что (3^k)>0. Доказательство сводится к доказуемому.

Вот интересно, некоторые начинают сердится за меня, мол, буквоедство развел - а что, нельзя просто сказать, что 3^у=|x| положительно хотя бы потому, что SQR(-|х|) не имеет смыла в традиционной алгебре (SQR это квадратный корень), и не надо огород городить! И обижаться, что не защитываю.


Выражение -2|x|-2^(-|x|) состоит из двух частей. И отрицательно оно будет, только если обе его части отрицательны. -2|x| - базару нет. А вот -2^(-|x|) <0 - не знаю, не доказано.


Ничег не понял. 0-1=-1 как раз верно, -1=-1. Вы что куда подставляете?


Логарифмы - это уже топология. Договаривались силами алгебры решать. Да и потом,

не видно.

че никто не может еще решить?

думаю нужно уже ответь давать)
интересно просто)

аааа я так нелюблю алгебру и вышку, в институте у меня сплошные неуды и двойки были....

Ладно, сделаем по-другому.
Рассмотрим два случая.
Если х и у неотрицательные числа. Тогда все идет по описанному мною ниже алгоритму.
Выражая из первого уравнения x, получаем х=2^х-y
Из второго x=3^у+y
(Насчет, что так выражать нельзя - не соглашусь. Это тождественные преобразования и решению они не вредят, но действительно могут появится лишние результаты. От этого спасает проверка)
Т.к. левые части равны, то и правые тоже, т.е. 2^х-y=3^у+y
Отсюда 2^х=3^у+2y
2^х - при целых неотрицательных значениях x всегда четно (это так, потому что четное число - это по-определению которое кратно двум, а 2^x всегда без остатка делится на 2 и в итоге получаем 2^(х-1)), исключение при х=0, 2^х=1
3^у - при целых неотрицательных значениях y всегда нечетно (потому что 3^у будет состоять только из множителей троек и делится без остатка на два не может)
2y - четное число (потому что 2y уже само по себе делится на два, потому что есть множитель двойка)
3^у+2y - четное плюс нечетное всегда нечетное
Так мы получили слева четное число, а справа нечетное, соответственно равенство не верно.
Но как я уже написал, есть исключение когда и слева будет нечетное число, это при х=0, 2^х=1. 3^у+2y=1, при у=0. Тождество сходится, т.е. х=0 и у=0 - возможное решение сделаем проверку, подставив эти значения в первоначальную систему уравнений:
0+0<>2^0 (0<>1)
0-0<>3^0 (0<>1)
Значит х=0, у=0 - не являются решением.
Итак при рассмотрении первого случая мы доказали что нет решения.
Но целые числа бывают так же отрицательными. И во втором случае мы рассмотрим что х или у (или оба) являются отрицательными.
Левые части уравнений первоначальной системы целые (т.к. х и у целые, тогда и их сумма или разность тоже целое число)
А правая часть одного из уравнений системы или обе правые части дробные, в зависимости одна из переменных или обе отрицательные (потому что при возведении числа в минусовую степень всегда получается дробное число).
Таким образом дробное не может равняться целому, и при втором случае мы также доказали что система не имеет решений.

в смысле неверно?

если считаете, что неверно, докажите обратное!!!

Легко.

2^х - число четное (доказательство смотрите у genek'а одним постом выше)
3^у - число нечетное (док.-во там же)

(2^х + 3^у) - сумма четного и нечетного
четное представим как 2а, нечетное как 2b+1, тогда
2а+2B+1=2(а+b)+1=2с+1, где а, b, с - целые числа
2с+1 - нечетное, следовательно, (2^х + 3^у) - нечетное.

(2^х - 3^у) - разница четного и нечетного
четное представим как 2а, нечетное как 2b+1, тогда
2а-2b-1=2(а-b)-1=2d-1, где а, b, d - целые числа
Если к целому числу прибавить 2, то в результате признак четности не изменится. Четное останется четным, нечетное - нечетным.
Доказываю: 2х+2=2(х+1)=2у; 2х+1+2=2(х+1)+1=2у+1.
Пользуясь этим, к полученному ранее выражению 2d-1 прибавим 2.
2d-1+2=2d+1
2d+1 - нечетное, следовательно, (2^х - 3^у) - нечетное.

и что? вы мне доказали, что они нечетные! но согласно этой системе они должны быть четными.

еще раз! смотрите рисунок

эти два выражения должны быть четными!!! вы сейчас вывели, что они нечетные, т.е. решений нет!